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平行四邊形教案

時間:2023-05-16 16:00:03 教案 我要投稿

有關平行四邊形教案范文集錦7篇

  作為一名辛苦耕耘的教育工作者,就難以避免地要準備教案,教案是教學活動的總的組織綱領和行動方案。寫教案需要注意哪些格式呢?下面是小編幫大家整理的平行四邊形教案7篇,希望對大家有所幫助。

有關平行四邊形教案范文集錦7篇

平行四邊形教案 篇1

  教學內容

  人教版《義務教育課程標準實驗教科書數學》五年級上冊第80、81頁的內容。

  教學目標

  1. 在理解的基礎上掌握平行四邊形的面積計算公式,能正確地計算平行四邊形的面積;

  2. 通過操作、觀察、比較,發展學生的空間觀念,滲透轉化的思想方法,培養學生的分析、綜合、抽象、概括和解決實際問題的能力。

  教學重點:

  掌握平行四邊的面積計算公式,并能正確運用。

  教學難點:

  平行四邊形面積計算公式的推導。

  教學過程:

  一、情境激趣

  1.播放運載“嫦娥一號”探月衛星的火箭成功發射的錄像。

  2.師:為了紀念這個有意義的時刻,我們學校的小朋友們在數學活動上利用一些圖形拼出了運載“嫦娥一號”的火箭模型呢!

  3.(課件出示拼成的模型)讓學生觀察火箭模型是由哪些圖形拼成的。

  提問:如果比較這些圖形的大小,要知道它們的什么?哪些圖形的面積是我們已經學過的?怎樣求?

  4.比較其中的長方形和平行四邊形,誰的面積大,誰的面積小,可以用什么方法?(引導學生說出可以用數方格的方法。)

  二、自主探究

  1.數方格比較兩個圖形面積的大小。

 。1)提出要求:每個方格表示1平方厘米,不滿一格的都按半格計算。

 。2)學生用數方格的方法計算兩個圖形的面積并填寫書上80頁表格。

 。3)反饋匯報數的結果,得出:用數方格的方法知道了兩個圖形的面積一樣大。

 。4)提出問題:如果平行四邊形很大,用數方格的方法麻煩,能不能找到一種方法來計算平行四邊形的面積?

 。5)觀察表格,你發現了什么?

 。6)引導學生交流發現并全班反饋得出:平行四邊形的底和長方形的長相等,平行四邊形的`高和長方形的寬相等,平行四邊形的面積和長方形的面積相等;平行四邊形的面積等于底乘高。

 。7)提出猜想:平行四邊形的面積=底×高

  2.操作驗證。

 。1)提出要求:請小朋友利用三角尺、剪刀,動手剪一剪拼一拼,把平行四邊形想辦法轉變成我們已學過面積計算的圖形,完成后和小組的同學互相交流自己的方法。

 。2)學生分組操作,教師巡視指導。

 。3)學生展示不同的方法把平行四邊形變成長方形。

 。4)利用課件演示把平行四邊形變成長方形過程。

 。5)觀察并思考以下兩個問題:

 。.拼成的長方形和原來的平行四邊形比較,什么變了?什么沒變?

  B.拼成的長方形的長與寬分別與原來平行四邊形的底和高有什么關系?

 。6)交流反饋,引導學生得出:

  A.形狀變了,面積沒變。

  B.拼成的長方形,長與原來平行四邊形的底相等,寬與原來平行四邊形的高相等。

 。7)根據長方形的面積公式得出平行四邊形面積公式并用字母表示。

 。8)活動小結:我們把平行四邊形轉變成了同它面積相等的長方形,利用長方形面積計算公式得出了平行四邊的面積等于底乘高,驗證了前面的猜想。

  3.教學例1。

 。1)(出示例1)平行四邊形的花壇的底是6 m,高是4 m。它的面積是多少?

 。2)學生獨立完成并反饋答案。

  三、看書質疑

  四、課堂總結

  通過這節課的學習,你有哪些收獲?(學生自由回答。)

  五、鞏固運用

  1.練習十五第1題,讓學生獨立完成后反饋答案。

  2.你會計算下面平行四邊形的面積嗎?

  3.你能想辦法求出下面平行四邊形的面積嗎?

  4.練習十五第3題。

  六、全課小結(略)

平行四邊形教案 篇2

  1、本單元教材內容

  例1.認識同一平面內兩條直線的特殊位置關系:平行和垂直。

  例2.學習畫垂線,認識點到直線的距離。

  例3.學習畫平行線,理解平行線之間的距離處處相等。

  例1.把四邊形分類,概括出平行四邊形和梯形的.特征,探討平行四邊形和長方形、正方形的關系。

  例2.認識平行四邊形的不穩定性,認識平行四邊形的底和高,學習畫高,梯形的各部分名稱。

  2、重難點、關鍵

  重點:垂直與平行的概念;平行四邊形和梯形的特征。

  難點:畫垂線、畫平行線、畫長方形和正方形、畫平行四邊形和梯形的高。

  關鍵:加強作圖的訓練和指導,重視作圖能力的培養。

  3、教學目標

 。1)使學生理解垂直與平行的概念,會用直尺、三角尺畫垂線和平行線。

 。2)使學生掌握平行四邊形和梯形的特征。

 。3)通過多種活動使學生逐步形成空間觀念,進一步體會幾何圖形在日常生活中的廣泛應用。

  4、課時劃分

  6課時

 。1)垂直與平行 3課時左右

 。2)平行四邊形和梯形 3課時左右

平行四邊形教案 篇3

  教學目標:

  1、在聯系生活實際和動手操作的過程中認識平行四邊形,發現平行四邊形的基本特征,認識平行四邊形的高。

  2、在活動中進一步積累認識圖形的學習經驗,學會用不同方法做出一個平行四邊形,會在方格紙上畫平行四邊形,能正確判斷一個平面圖形是不是平行四邊形,能測量或畫出平行四邊形的高。

  3、感受圖形與生活的聯系,感受平面圖形的學習價值,進一步發展對空間與圖形的學習興趣。

  教學重點:進一步認識平行四邊形,發現平行四邊形的基本特征,會畫高。

  教學難點:引導學生發現平行四邊形的特征。

  教學準備:實物投影。

  教學過程:

  一、創設情境、導入新課。

  1、出示長方形,談話:老師手里問成的是什么圖形?

  學生:長方形

  教師移動成平行四邊形,談話:仔細看,現在圍成的是什么圖形?

  學生:平行四邊形

  揭題:今天我們進一步認識平行四邊形(揭題)

  [從學生熟悉的長方形漸變成平行四邊形,既關注學生的原認知,又符合學生的認知規律,同時為后面發現平行四邊形邊的特點和比較長方形、平行四邊形的異同點提供了鋪墊]

  2、教師談話:同學們在生活中見到過平行四邊形嗎?

  生1:我們校門口的移動門上有平行四邊形;

  生2:一種衣架是平行四邊形;

  生3:我家曬衣服的伸向外面的欄桿是平行四邊形的;

  生4:看,墻上那個圖上有平行四邊形;

  談話:只要你善于觀察生活,其實生活中經常能看到平行四邊形。出示掛圖(電動移門、樓梯扶欄、籬笆),你能從中找出平行四邊形嗎?

  學生上臺指。

  [通過讓學生在生活實踐中找平行四邊形,比劃出平行四邊形的樣子,挖掘學生對平行四邊形的潛在表象認識,建立初步的感性表象。]

  二、實踐操作、探究特點。

  1、談話:同學們都認識了平行四邊形,閉上眼睛在小腦袋里想一想平形四邊形是什么樣子的?好,腦子里有平行四邊形樣子了嗎?如果老師讓你做一個平行四邊形,你準備怎么做?

  學生思考。

  2、學生用手頭材料做,做完后交流:我是怎么做平行四邊形的?教師巡視指導。

  3、談話:誰愿意上臺來展示自己是怎么做的?

  生1:我用釘子板圍;

  生2:我用小棒擺的;

  生3:我用方格圖上畫;

  生4:我是直接折的;

  生5:我是用剪刀剪的;

  4、談話:同學們想出的辦法真多,請同學們觀察一下自己面前的平行四邊形,它的邊有什么共同特點呢?

  小組交流:有什么發現?

  5、交流匯報:

  生1:我們小組覺得上下兩條邊可能平行;左右兩條邊可能平行。 (師板書:互相平行)

  師:你是怎么發現的?

  生1:我是看出來的,上下兩條邊延長后不相交;

  師:其他小組發現這個特點了嗎?你有辦法證明嗎?

  生2:我們的平行四邊形上下兩條邊延長后也不相交,我可以用畫平行線方法證明,左右也一樣;

  師明確:上下兩條邊稱為一組對邊,左右一組對邊,可以稱兩組對邊。(板書:兩組對邊)

  生3:我們可以用三角尺平移的辦法證明對邊是平行的。

  小組討論后提問并板書:兩組對邊互相平行。

  生3:我們小組發現兩組對邊都是相等的?

  師:你們聽明白他的意思了嗎?

  生4:就是上下兩條邊相等,左右兩條邊相等。

  師規范語言:你指的是兩組對邊分別相等,是嗎?(板書)

  談話:其他小組發現這個特點了嗎?你有辦法證明嗎?

  生5:上下兩個小棒長度相等,左右長度也相等;

  生6:我上下拉出的都是3格,左右是2格,都是相等;

  小結:通過以上研究,我們已經知道了平行四邊形的特點:兩組對邊分別平行且相等。

  5、教師在釘子板上圍想想做做1,判斷:哪些圖形是平行四邊形,為什么。

  生1:1、3、4是平行四邊形,因為他們符合平行四邊形特點兩組對邊分別平行且 相等。

  生2:2不是,因為它上下對邊平行不相等,左右對邊相等又不平行,所以不是平行四邊形。

  生3:2是梯形,所以不是平行四邊形。

  [學生經歷制作平行四邊形的過程,討論、探究、發現平行四邊形邊的特點,學生交流自己的驗證方法,并用發現的特點去判斷圖形是否平行四邊形。經歷制做研究發現應用的過程,符合學生的認識規律。]

  三、認識高、底。

  1、談話:出示一張平行四邊形的圖,介紹:這是一個平行四邊形,上下對邊是一組平行線,你能量出兩條平行線之間的距離嗎?應該怎么量?把你量的線段畫出來。

  學生自己嘗試后交流。教師指導明確平行線之間的垂直線段就是平行線之間的距離。

  2、老師剛才發現,大家畫的垂直線段位置都不一樣,你們想想這是為什么呢?這樣的線段到底有多少條呢?(一組平行線之間的距離處處相等,有無數條。)

  老師示范畫一組的垂直線段,說明:在平行四邊形里,一組對邊之間的垂直線段就是平行四邊形的高,而對邊就是底。

  3、學生自主看書上P44頁,說一說:什么是平行四邊形的高?什么是底?

  [由復習平行線之間距離入手,讓學生動手量、畫,然后明確平形四邊形高、底的含義,注重鏈接知識的最近發展區,符合學生的認知規律]

  4、師出示實物平行四邊形,指一指兩組底邊上的高。

  5、找出底邊上的高:(圖略)

  6、做書上試一試,量出底和高分別是多少?

  (1)先指一指高垂直于哪條邊;(2)量出每個平行四邊形的底和高各是多少厘米。

  7、想想做做5,先指一指平行四邊形的底,再畫出這條底邊上的高,注意畫上直角 標記。如果有錯誤,讓學生說說錯在哪里。

  [平行四邊形的高、底的認識是本課教學的難點,通過量平行線間的距離,使學生逐步認識平行四邊形的高和底。在扎實認識了高和底的基礎上,讓學生經歷指高、找高、量高、畫高的過程,并通過變式,加深對知識點的掌握。]

  四、練習提高。

  1、談話:課一開始,老師將長方形一拉變成平行四邊形,現在老師再輕輕一移又變成了長方形,同學們觀察一下,長方形和平行四邊形哪里變了,哪里沒變,討論一下它們有什么相同點和不同點呢?

  學生小組交流,集體匯報。

  生1:相同點是它們的對邊都是平行且相等;

  生2 :不同點是長方形的角都是直角,而平行四邊形的角不是直角;

  生3:平行四邊形是長方形變形后產生的;

  2、教師:平行四邊形不改變邊長的情況下可以改變成不同形狀的平行四邊形,這就是平行四邊形的不穩定性。請同學看書上P45頁你知道嗎?

  提問:說一說,生活中平行四邊形的這種特點在哪些地方有應用?

  生1:有種可以彈的那種拳擊套;

  生2:曬衣服的衣架;

  生3:捕魚的網;

  五、實踐游戲:

  1、想想做做2,用2塊、4塊完全一樣的三角尺分別拼成一個平行四邊形,在小組里交流是怎樣拼的。

  2、想想做做3,用七巧板中的3塊拼成一個平行四邊形。

  出示,你能移動其中的一塊將它改拼成長方形嗎?

  3、想想做做4,想把一塊平行四邊形的木板鋸開做成一張盡可能的的長方形桌面,該從 哪里鋸開呢?找一張平行四邊形紙試一試。

  [練習設計既富有情趣,又讓學生在活動中體驗到所學平行四邊形知識的價值,再次感悟到數學知識與現實生活的'密切聯系。]

  六、全課小結

  今天我們重點研究了哪種平面圖形?它有什么特點?回想一下,我們通過哪些活動進行研究的?

  [小結簡明扼要,既突出本節課的知識重點,又提升了學生的認知策略。]

  教學反思:

  一、 激發原認知關注學生知識儲備。

  用發展的眼光來設計學習活動,讓學生在探究中親歷知識形成的過程,遠比讓學生直接但卻被動地獲取現成知識結論要更加具有深遠的意義和影響,學生的觀察、猜想、探索和創新等其他各方面能力都能得到有效地開發和鍛煉。紙上得來終覺淺。在體驗中自身感悟的東西理解深刻、印象久遠。對平行四邊形的特征研究,我本著讓學生親歷知識的形成過程的方法,讓學生依據探究內容自己有序探究,自己量一量、比一比、想一想,從而得出平行四邊形的特征,學生自然也得到了有效地學習。

  二、重視過程把探究機會讓給學生。

  《課標》在基本理念中指出:數學教學活動,必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎上,為學生提供充分從事數學活動的機會,幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握數學知識。本課正是實踐這種理念的一個典范,如我在教學中提供長短不一的塑料棒和釘字板,讓學生根據印象中的平行四邊形制作平行四邊形,自主選擇學具圍成各種各樣的平行四邊形,其間學生既能采用最簡單的4根塑料棒來圍成,還有用釘字板圍。操作的成功不但讓學生對平行四邊形原有認知表現外顯,更讓學生為下面進一步觀察平行四邊形邊特點提供了素材,最重要的是提升學生靈活應用數學解決實際問題的策略與能力,并從中得到成功的體驗,樹立學習的信心。

平行四邊形教案 篇4

  【教學目標】

  1、知識與技能:

  探索與應用平行四邊形的對角線互相平分的性質,理解平行線間的距離處處相等的結論,學會簡單推理。

  2、過程與方法:

  經歷探索平行四邊形性質的過程,進一步發展學生的邏輯推理能力及有條理的表達能力。

  3、情感態度與價值觀:

  在探索平行四邊形性質的過程中,感受幾何圖形中呈現的數學美。讓學生學會在獨立思考的基礎上積極參與對數學問題的討論,享受運用知識解決問題的成功體驗,增強學好數學的自信心。

  【教學重點】:

  探索并掌握平行四邊形的對角線互相平分和平行線間的距離處處相等的性質。

  【教學難點】:

  發展合情推理及邏輯推理能力

  【教學方法】:

  啟發誘導法,探索分析法

  【教具準備】:多媒體課件

  【教學過程設計】

  第一環節回顧思考,引入新課

  什么叫平行四邊形?

  平行四邊形都有哪些性質?

  利用平行四邊形的.性質,我們可以解決相關的計算問題。阿凡提是傳說中很聰明的人。一天,財主巴依遇到阿凡提,想考一考聰明的阿凡提,說:給你兩塊地,一塊是平行四邊形形狀的(如下圖,AB=10,OA=3,BC=8),還有一塊是邊長是7的正方形EFGH土地,讓你來選一下,哪一塊面積更大?

  [學生活動]此時,學生的積極性被調動起來,努力試圖尋找各種途徑來求平行四邊形的面積,但找不到合適的解決辦法.

  [教學內容]教師乘機引出課題,明確學習任務.

  第二環節探索發現,應用深化

  1、做一做:(電腦顯示P100“做一做”的內容)

  如圖4-2,□ABCD的兩條對角線AC,BD相交于點O,

  (1)圖中有哪些三角形是全等的?有哪些線段是相等的?

  (2)能設法驗證你的猜想嗎?

  [教師活動]教師將前后四名同學分成一組,學生拿出事先準備好的平行四邊形及實驗工具(刻度尺、剪刀、圖釘),嘗試在交流合作中動手探究平行四邊形的對角線有何性質.

  2、觀察、討論:(小組交流)

  通過以上活動,你能得到哪些結論?并由各小組派學生表述看法。

  [教師活動]探究結束后,分組展示結果,教師利用課件展示“旋轉法”的實驗過程,增強教學的直觀性.

  結論:平行四邊形的對角線互相平分。

  [教師活動]“實驗都是有誤差的,我們能否對此進行理論證明?”

  [學生活動]此問題難度不大.

  [教師活動]教師讓學生口述證明過程.最后師生共同歸納出“平行四邊形的對角線互相平分”這條性質.

  活動二

  剛才財主巴依提出的問題你能解決嗎?

  學生口述過程,教師最后給出規范的解題過程。

  練一練:

  財主不服氣,又想考阿凡提,說過點O做一直線EF,交邊AD于點E,交BC于點F.直線EF繞點O旋轉的過程中(點E與A、D不重合),你能知道這里有多少對全等三角形嗎?

  [教師活動]此處組織學生搶答,互相補充完善后,學生答出了全部的全等三角形.

  活動三

  電腦顯示P101關于鐵軌的圖片

  提出問題:“想一想”

  已知,直線a//b,過直線a上任兩點A,B分別向直線b作垂線,交直線b于點C,點D,如圖,

  (1)線段AC,BD所在直線有什么樣的位置關系?

  (2)比較線段AC,BD的長。

  引出平行線間距離的概念,并引導學生對比點到直線的距離,兩點間距離等概念。

  (讓學生進一步感知生活中處處有數學)

  A.(學生思考、交流)

  B.(師生歸納)

  解(1)由AC⊥b,BD⊥b,得AC//BD。

  (2)a//b,AC//BD,→四邊形ACDB是平行四邊形

  →AC=BD

  歸納:

  若兩條直線平行,則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等,這個距離稱為平行線間的距離。

  即平行線間的距離相等。

  [議一議]:

  舉你能舉出反映“平行線之間的垂直段處處相等實例嗎”?

  活動目的:

  通過生活中的實例的應用,深化對知識的理解。

  第三環節鞏固反饋,總結提高

  1、說一說下列說法正確嗎

 、倨叫兴倪呅问禽S對稱圖形()

 、谄叫兴倪呅蔚倪呄嗟()

 、燮叫芯間的線段相等()

 、芷叫兴倪呅蔚膶蔷互相平分()

  2、已知,平行四邊形ABCD的周長是28,對角線AC,BD相交于點O,且△OBC的周長比△OBA的周長大4,則AB=

  3、已知P為平行四邊形ABCD的邊CD上的任意點,則△APB與平行四邊形ABCD的面積比為

  4、平行四邊形ABCD中,AC,DB交于點O,AC=10。DB=12,則AB的取值范圍是什么?

  5、平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于O,OA,OB,AB的長度分別為3cm、4cm、5cm,求其它各邊以及兩條對角線的長度。

  第四環節評價反思,目標回顧

  活動內容:

  本節課你有哪些收獲?你能將平行四邊形的性質進行歸納嗎?

  [布置作業]:

  P102習題4.21,2,3

  探究題已知如下圖,在ABCD中,AC與BD相交于點O,點E,F在AC上,且BE∥DF.求證:BE=DF

平行四邊形教案 篇5

  一、學習目標

 。、經歷探索多項式與多項式相乘的運算法則的過程,發展有條理的思考及語言表達能力。

  2、 會進行簡單的多項式與多項式的乘法運算

  二、學習過程

 。ㄒ唬┳詫W導航

  1、創設情境

  某地區在退耕還林期間,將一塊長m米、寬a米的長方形林區的長、寬分別增加n米和b米,用兩種方法表示這塊林區現在的面積。

  這塊林區現在的長為 米,寬為 米。因而面積為________米2。

  還可以把這塊林地分為四小塊,它們的面積分別為 米2, 米2,_______米2, 米2。故這塊地的面積為 。

  由于這兩個算式表示的都是同一塊地的面積,則有 =

  如果把(m+n)看作一個整體,你還能用別的方法得到這個等式嗎?

  2、概括:

  多項式乘以多項式的法則:

  3、計算

 。1) (2)

  4、練一練

 。1)

 。ǘ┖献鞴リP

  1、某酒店的廚房進行改造,在廚房的中間設計一個準備臺,要求四面的過道寬都為x米,已知廚房的長寬分別為8米和5米,用代數式表示該廚房過道的總面積。

  2、解方程

 。ㄈ┻_標訓練

  1、填空題:

 。1) = =

 。2) = 。

  2、計算

 。1) (2)

 。3) (4)

 。ㄋ模┨嵘

  1、怎樣進行多項式與多項式的乘法運算?

  2、若 的乘積中不含 和 項,則a= b=

  應用題

  第三十五講 應用題

  在本講中將介紹各類應用題的解法與技巧.

  當今數學已經滲入到整個社會的各個領域,因此,應用數學去觀察、分析日常生活現象,去解決日常生活問題,成為各類數學競賽的一個熱點.

  應用性問題能引導學生關心生活、關心社會,使學生充分到數學與自然和人類社會的密切聯系,增強對數學的理解和應用數學的信心.

  解答應用性問題,關鍵是要學會運用數學知識去觀察、分析、概括所給的實際問題,揭示其數學本質,將其轉化為數學模型.其求解程序如下:

  在初中范圍內常見的數學模型有:數式模型、方程模型、不等式模型、函數模型、平面幾何模型、圖表模型等.

  例題求解

  一、用數式模型解決應用題

  數與式是最基本的數學語言,由于它能夠有效、簡捷、準確地揭示數學的本質,富有通用性和啟發性,因而成為描述和表達數學問題的重要方法.

  【例1】(20xx年安徽中考題)某風景區對5個旅游景點的門票價格進行了調整,據統計,調價前后各景點的游客人數基本不變。有關數據如下表所示:

  景點ABCDE

  原價(元)1010152025

  現價(元)55152530

  平均日人數(千人)11232

 。1)該風景區稱調整前后這5個景點門票的平均收費不變,平均日總收入持平。問風景區是怎樣計算的?

 。2)另一方面,游客認為調整收費后風景區的平均日總收入相對于調價前,實際上增加了約9.4%。問游客是 怎樣計算的?

 。3)你認為風景區和游客哪一個的說法較能反映整體實際?

  思路點撥 (1)風景區是這樣計算的:

  調整前的平均價格: ,設整后的平均價格:

  ∵調整前后的平均價格不變,平均日人數不變.

  ∴平均日總收入持平.

 。 2)游客是這樣計算的:

  原平均日總收入:10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160(千元)

  現平均日總收入:5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175(千元)

  ∴平均日總收入增加了

 。3)游客的說法較能反映整體實際.

  二、用方程模型解應用題

  研究和解決生產實際和現實生恬中有關問題常常要用到方程<組)的知識,它可以幫助人們從數量關系和相等關系的角度去認識和理解現實世界.

  【例2】 (重慶中考題)某中學新建了一棟4層的教學大樓,每層樓有8間教室,進出這棟大樓共有4道門,其中兩道正門大小相同,兩道側門大小也相同.安全檢查中,對4道門進行了測試:當同時開啟一道正門和兩道側門時,2min內可以通過560名學生;當同時開啟一道正門和一道側門時,4mln內可以通過800名學生.

  (1)求平均每分鐘一道正門和一道側門各可以通過多少名學生?

  (2)檢查中發現,緊急情況時因學生擁擠,出門的效率降低20%.安全檢查規定:在緊急情況下全大樓的學生應在5min內通過這4道門安全撤離.假設這棟教學大樓每間教室最多有45名學生,問:建造的這4道門整否符合安全規定?請說明理由.

  思路點撥 列方程(組)的關鍵是找到題中等量關系:兩種測試中通過的學生數量.設未知數時一般問什么設什么.“符合安全規定”之義為最大通過量不小于學生總數.

  (1)設平均每分鐘一道正門可以通過x名學生,一道側門可以通過y名學生,由題意得:

  ,解得:

  (2)這棟樓最多有學生4×8×4 5=1440(名).

  擁擠時5min4道門能通過.

  5×2(120+80)(1-20%)=1600(名),

  因1600>1440,故建造的4道門符合安全規定.

  三、用不等式模型解應用題

  現實世界中的不等關系是普遍存在的,許多問題有時并不需要研究它們之間的相等關系,只需要確定某個量的變化范圍,即可對所研究的問題有比較清楚的認識.

  【例3】 (蘇州中考題)我國東南沿海某地的風力資源豐富,一年內月平均的風速不小于3m/s的時間共約160天,其中日平均風速不小于6m/s的時間占60天.為了充分利用“風能”這種“綠色資源”,該地擬建一個小型風力發電場,決定選用A、B兩種型號的風力發電機,根據產品說明,這兩種風力發電機在各種風速下的日發電量(即一天的發電量)如下表:一天的發電量)如下表:

  日平均風速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6

  日發電量 (千瓦?時)A型發電機O≥36≥150

  B型發電機O≥24≥90

  根據上面的數據回答:

  (1)若這個發電場購x臺A型風力發電機,則預計這些A型風力發電機一年的發電總量至少為 千瓦?時;

  (2)已知A型風力發電機每臺O.3萬元,B型風力發電機每臺O.2萬元.該發電場擬購置風力發電機共10臺,希望購機的費用不超過2.6萬元,而建成的風力發電場每年的發電總量不少于102000千瓦?時,請你提供符合條件的購機方案.

  根據上面的數據回答:

  思路點撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x;

  (2)設購A型發電機x臺,則購B型發電機(10—x)臺,

  解法一根據題意得:

  解得5≤x ≤6.

  故可購A型發電機5臺,B型發電機5臺;或購A型發電機6臺,B型發電視4臺.

  四、用函數知識解決的應用題

  函數類應用問題主要有以下兩種類型:(1)從實際問題出發,引進數學符號,建立函數關系;(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數關系式.

  【例4】 (揚州)楊嫂在再就業中心的扶持下,創辦了“潤楊”報刊零售點.對經營的某種晚報,楊嫂提供丁如下信息:

 、儋I進每份0.20元,賣出每份0.30元;

 、谝粋月內(以30天計),有20天每天可以賣出200份,其余10天每天只能賣出120份;

 、垡粋月內,每天從報社買進的報紙份數必須相同.當天賣不掉的報紙,以每份0.10元退回給報社;

  (1)填表:

  一個月內每天買進該種晚報的份數100150

  當月利潤(單位:元)

  (2)設每天從報社買進該種晚報x份,120≤x≤200時,月利潤為y元,試求出y與x的函數關系式,并求月利潤的最大值.

  思路點撥(1)填表:

  一個月內每天買進該種晚報的份數100150

  當月利潤(單位:元)300390

  (2)由題意可知,一個月內的20天可獲利潤:

  20×=2x(元);其余10天可獲利潤:

  10=240—x(元);

  故y=x+240,(120≤x≤200), 當x=200時,月利潤y的最大值為440元.

  注 根據題意,正確列出函數關系式,是解決問題的關鍵,這里特別要注意自變量x的取值范圍.

  另外,初三還會提及統計型應用題,幾何型應用題.

  【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內完成新建辦公樓的裝修工程.如果由甲、乙兩個工程隊合做,12天可完成;如果由甲、乙兩隊單獨做,甲隊比乙隊少用10天完成.

 。1)求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程所需的天數.

  (2)如果請甲工程隊施工,公司每日需付費用200 0元;如果請乙工程隊施工,公司每日需付費用1400元.在規定時間內:A.請甲隊單獨完成此項工程;B.請乙隊單獨完成此項工 程; C.請甲、乙兩隊合作完成此項工程.以上方案哪一種花錢最少?

  思路點撥 這是一道策略優選問題.工程問題中:工作量=工作效率×工時.

  (1)設乙工程隊單獨完成此項工程需x天,根據題意得:

  , x=30合題意,

  所以,甲工程隊單獨完成此項工程需用20天,乙隊需30天.

  (2)各種方案所需的費用分別為:

  A.請甲隊需20xx×20=40000元;

  B.請乙隊需1400×30=4200元;

  C.請甲、乙兩隊合作需(20xx+1400)×12=40800元.

  所隊單獨請甲隊完成此項工程花錢最少.

  【例6】 (2全國聯賽初賽題)一支科學考察隊前往某條河流的上游去考察一個生態區,他們以每天17km的速度出發,沿河岸向上游行進若干天后到達目的地,然后在生態區考察了若干天,完成任務后以每天25km的速度返回,在出發后的第60天,考察隊行進了24km后回到出發點,試問:科學考察隊的生態區考察了多少天?

  思路點撥 挖掘題目中隱藏條件是關鍵!

  設考察隊到 生態區去用了x天,返回用了y天,考察用了z天,則x+y+z=60,

  17x-25y=-1,即25y-17x=1. ①

  這里x、y是正整數,現設 法求出①的一組合題意的解,然后計算出z的值.

  為此,先求出①的一組特殊解(x0,y0),(這里x0,y0可以是負整數).用輾轉相除法.

  25=l ×17+8,17=2×8+1,故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25.

  與①的左端比較可知,x0 =-3,y0=-2.

  下面再求出①的合題意的解.

  由不定方程的知識可知,①的一切整數解可表示為x=-3+25t,y=-2+17t,

  ∴ x+y=42t-5,t為整數.按題意0

  ∴z=60—(x+y)=23.

  答:考察隊在生態區考察的天數是23天.

  注 本題涉及到的未知量多,最終轉化為二元一次不定方程來解,希讀者仔細咀嚼所用方法.

  【例7】 (江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對顧客實行優惠購物,規定如下:

  (1)若一次購物少于200元,則不予優惠;

  (2)若一次購物滿200元,但不超過500元,按標價給予九折優惠;

  (3)若一次購物超過500元,其中500元部分給予九折優惠,超過500元部分給予八折 優惠.

  小明兩次去該超市購物,分別付款198元與554元.現在小亮決定一次去購 買小明分兩次購買的同樣多的物品,他需付款多少?

  思路點撥 應付198元購物款討論:

  第一次付款198元,可是所購物品的實價,未 享受優惠;也可能是按九折優惠后所付的款.故應分兩種情況加以討論.

  情形1 當198元為購物不打折付的錢時,所購物品的原價為198元 .

  又554=450+104,其中450元為購物500元打九折付的錢,104元為購物打八折付的錢;104÷0. 8 =130(元).

  因此,554元所購物品的原價為130+500=630(元),于是購買小呀花198 +630=828(元)所購的全部物品,小亮一次性購買應付500×0.9+(828-500)×0.8=712.4(元).

  情形2 當198元為購物打九折付的錢時,所購物品的原價為198 ÷0.9=220(元) .仿情形1的討論,,購220+630=850{元}物品一次性付款應為500×0.9+(850-500)×0.8=730(元).

  綜上所述,小亮一次去超市購買小明已購的同樣多的物品,應付款712.40元或730元

  【例8】 (20xx年全國數學競賽題)某項工程,如果由甲、乙兩隊承包,2 天完成,需180000元;由乙、丙兩隊承包,3 天完成,需付150000元;由甲、丙兩隊承包,2 天完成,需付160000元.現在工程由一個隊單獨承包,在保證一周完成的前提下,哪個隊承包費用最少?

  思路點撥 關鍵問題是甲、乙、丙單獨做各需的天數及獨做時各方日付工資.分兩個層次考慮:

  設甲、乙、丙單獨承包各需x、y、z天完成.

  則 ,解得

  再設甲、乙、丙單獨工作一天,各需付u、v、w元,

  則 ,解得

  于是,由甲隊單獨承包,費用是45500×4=182000 (元).

  由乙隊單獨承包,費用是29500×6= 177000 (元).

  而丙隊不能在一周內完成.所以由乙隊承包費用最少.

  學歷訓練

 。ˋ級)

  1.(河南)在防治“SARS”的戰役中,為防止疫情擴散,某制藥廠接到了生產240箱過氧乙酸消毒液的任務.在生產了60箱后,需要加快生產,每天比原來多生產15箱,結果6天就完成了任務.求加快速度后每天生產多少箱消毒液?

  2.(山東省競賽題)某市為鼓勵節約用水,對自來水妁收費標準作如下規定:每月每戶用水中不超過10t部分按0.45元/噸收費;超過10t而不超過20t部分按每噸0.8元收費;超過20t部分按每噸1.50元收費,某月甲戶比乙戶多繳水費7.10元,乙戶比丙戶多繳水費3.75元,問甲、乙、丙該月各繳水費多少?(自來水按整噸收費)

  3.(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數學題,每人都解出了其中的60道題,將其中只有1人解出的題叫做難題,3人都解出的題叫做容易題.試問:難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題?

  4.某人從A地到B地乘坐出租車有兩種方案,一種出租車收費標準是起步價10元,每千米1.2元;另一種出租車收費標準是起步價8元,每千米1.4元,問選擇哪一種出租車比較合適?

  (提示:根據目前出租車管理條例,車型不同,起步價可以不同,但起步價的最大行駛里程是相同的,且此里程內只收起步價而不管其行駛里程是多少)

 。˙級)

  1.(全國初中數學競賽題)江堤邊一洼地發生了管涌,江水不斷地涌出,假定每分鐘涌出的水量相等,如果用兩臺抽水機抽水,40min可抽完;如果用4臺抽水機抽,16min可抽完.如果要在10min抽完水,那么至少需要抽水機 臺.

  2.(希望杯)有一批影碟機(VCD)原售價:800元/臺.甲商場用如下辦法促銷:

  購買臺數1~5臺6~10臺11~15臺16~20臺20臺以上

  每臺價格760元720元680元640元600元

  乙商場用如下辦法促銷:每次購買1~8臺,每臺打九折;每次購買9~16臺,每臺打八五折; 每次購買17~24臺,每臺打八折;每次購買24臺以上,每臺打七五折.

 。1)請仿照甲商場的促銷列表,列出到乙商場購買VCD的購買臺數與每臺價格的對照表;

  (2)現在有A、B、C三個單位,且單位要買10臺VCD,B單位要買16臺VCD,C單位要買20臺VCD,問他們到哪家商場購買花費較少?

  3.(河北創新與知識應用競賽題)某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣,他要求硬幣總數為150枚,且每種硬幣不少于20枚,5分的硬幣要多于2分的硬幣.請你據此設計兌換方案.

  4.從自動扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛),如果男孩和女孩都做勻速運動且男孩每分鐘走動的級數是女孩的兩倍,已知男孩走了27級到達扶梯頂部,而女孩走了18級到達扶梯頂部(設男孩、女孩每次只踏—級).問:

  (1)扶梯露在外面的部分有多少級?

  (2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯,樓梯的級數和扶梯的級數相等,兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯,到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時走了多少級臺階?

  5.某化肥廠庫存三種不同的混合肥,第一種 含磷60%,鉀40%,第二種含鉀10%,氮90%;第三種含鉀50%,磷20%,氮30%,現將三種肥混合成含氮45%的混合肥100?(每種肥都必須取),試問在這三種不同混合肥的不同取量中,新混合肥含鉀的取值范圍.

  6.(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E,它們的產量,(單位:噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示,要建一座永久性打麥場,這5塊麥田生產的麥子都在此打場.問建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運輸量最小?圖中圓圈內的數字為產量,直線段上的字母a、b、d表示距離,且b < a

  多邊形的邊角與對角線

  j.Co M

  第十四講 多邊形的邊角與對角線

  邊、角、對角線是多邊形中最基本的概念,求多邊形的邊數 、內外角度數、對角線條數是解與多邊形相關的基本問題,常用到三角形內角和、多邊形內、外角和定理、不等式、方程等知識.

  多邊形 的內角和定理反映出一定的規律性:(n-2)×180°隨n的變化而變化;而多邊形的外角和定理反映出更本質的規律;360°是一個常數,把內角問題轉化為外角問題,以靜制動是解多邊形有關問題的常用技巧.

  將多邊形問題轉化為三角形問題來處理是解多邊形問題的基本策略,連對角線或向外補形、對內分割是轉化的常用方法,從凸 邊形的一個頂點引出的對角線把 凸 邊形分成 個多角形,凸n邊形一共可引出 對角線.

  例題求解

  【例1】在一個多邊形中,除了兩個內角外,其余內角之和為20xx°,則這個多邊形的邊數是 .

  (江蘇省競賽題)

  思路點撥 設除去的角為°,y°,多邊形的邊數 為 ,可建立關于x、y的不定方程;又0°

  鏈接 世界上的萬事萬物是一個不斷地聚合和分裂的過程,點是幾何學最原始的概念,點生線、線生面、面生體,幾何元素的聚合不斷產生新的圖形,另一方面,不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形,發現新的幾何性質,多邊形可分成三角形,三角形可以合成其他

  一些幾何圖形.

  【例2】 在凸10邊形的所有內角中,銳角的個數最多是( )

  A.0 B.1 C.3 D.5

  (全國初中數學競賽題)

  思路點撥 多邊形的內角和是隨著多邊形的邊數變化而變化的,而外角和卻總是不變的,因此,可把內角為銳角的個數討論轉化為 外角為鈍角的個數的探討.

  【例3】 如圖,已知在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,且AD=BC=4,若將此三角形沿AD剪開成為兩個三角形,在平面上把這兩個三角形拼成一個四邊形,你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫出所拼四邊形的示意圖(標出圖中直角),并分別寫出所拼四邊形的對角線的長.

  (烏魯木齊市中考題)

  思路點撥 把動手操作與合情想象相結合 ,解題的關鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線有不同情形.

  注 教學建模是當今教學教育、考試改革最熱門的一個話題,簡單地說,“數學建!本褪峭ㄟ^數學化(引元、畫圖等)把實際問題特化為一個數學問題,再運用相應的數學知識方法(模型)解決問題.

  本例通過設元,把“沒有重疊、沒有空隙”轉譯成等式,通過不定方程求解.

  【例4】 在日常生活中,觀察各種建筑物的地板,就能發現地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案.也就是說,使用給定的某些正多邊形,能夠拼成一個平面圖形,既不留下一絲空白,又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌),這顯然與正多邊形的內角大小有關,當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角(360°)時,就拼成了一個平面圖形.

  (1)請根據下列圖形,填寫表中空格:

  (2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌,哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形?

  (3)從正三角形、正四邊形,正六邊形中選一種,再在其他正多邊形中選一種,請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形(草圖);并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面 圖形?說明你的理由.

  (陜西省中考題)

  思路點撥 本例主要研究兩個問題:①如果限用一種正多邊形鑲嵌,可選哪些正多邊形;②選用兩種正多邊形鑲嵌,既具有開放性,又具有探索性.假定正n邊形滿足鋪砌要求,那么在它的頂點接合的地方,n個內角的和為360°,這樣,將問題的討論轉化為求不定方程的正整數解.

  【例5】 如圖,五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個單位,得到新的五邊形A'B'C'D'E'.

 。1)圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個五邊形嗎?說明理由.

  (2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個單位.

  (江蘇省競賽題)

  思路點撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個五邊形須滿足條件:,A'GB'; B'PC'; C'ND';D'LE';E'IA'三點分別共線;∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°;(2)增加的周長等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I,用圓的周長逼近估算.

  1.如圖,用硬紙片剪一個長為16cm、寬為12cm的長方形,再沿對角線把它分成兩個三角形,用這兩個三角形可拼出各種三角形和四邊形來,其中周長最大的是 ?,周長最小的是 cm.

  (選6《莢國中小學數學課程標準》)

  2.如圖,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= .

  3.如圖,ABCD是凸四邊形,AB=2,BC=4,CD=7,則線段AD的取值范圍是 .

  4.用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規律,拼成若干個圖案:

  (1)第4個圖案中有白色地面磚 塊;

  (2)第n個圖案中有白色地面磚 塊.

  (江西省中考題)

  5.凸n邊形中有且僅有兩個內角為鈍角,則n的最大值是( )

  A.4 B.5 C. 6 D.7

  ( “希望杯”邀請賽試題)

  6.一個凸多邊 形的每一內角都等于140°,那么,從這個多邊形的一個頂點出發的對角線的條數是( )

  A.9條 B.8條 C.7條 D. 6條

  7.有一個邊長為4m的正六邊形客廳,用邊長為50cm的正三角形瓷磚鋪滿,則需要這種瓷磚( )

  A.216塊 B.288塊 C.384塊 D.512塊

  ( “希望杯”邀請賽試題)

  8.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,△ACD是一個含有30°角的直角三角形,現將△ABC和△ACD拼成一個凸四邊形ABCD.

 。1))畫出四邊形ABCD;

  (2)求出四邊形ABCD的對角線BD的長.

  (上海市閔行區中考題)

  9.如圖,四邊形ABCD中,AB=BC=CD,∠ABC=90°,∠BCD=150°,求∠BAD的度數.

  (北京市競賽題)

  10.如圖,在五邊形A1A2A3A4A5中,Bl是A1的對邊A3A4的中點,連結A1B1,我們稱A1B1是這個五邊形的一條中對線,如果五邊形的每條中對線都將五邊形的面積分成相等的兩部分,求證:五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行.

  (安徽省中考題)

  11.如圖,凸四邊形有 個;∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= .

  (重慶市競賽題)

  12.如圖,延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個角,∠B1,∠B2,∠B3,∠B4,∠B5,它們的和等于 ;若延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交,則得到的n個角的`和等于 .

  ( “希望杯”邀請賽試題)

  13.設有一個邊長為1的正三角形,記作A1(圖a),將每條邊三等分,在中間的線段上向外作正三角形,去掉中間的線段后所得到的圖形記作A 2(圖b),再將每條邊三等分,并重復上述過程,所得到的圖形記作A3(圖c);再將每條邊三 等分,并重復上述過程,所得到的圖形記作A4,那么,A4的周長是 ;A4這個多邊形的面積是原三角形面積的 倍.

  (全國初中數學聯賽題)

  14.如圖,六邊形ABCDEF中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F,且AB+BC=11,FA—CD=3,則BC+DC= . (北京市競賽題)

  15.在一個n邊形中,除了一個內角外,其余(n一1)個內角的和為2750°,則這個內角的度數為( )

  A.130° D.140° C .105° D.120°

  16.如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=90°,AB=BC=2 ,AC=6,AD=3,則CD的長為( )

  A.4 B.4 C.3 D. 3 (江蘇省競賽題)

  注 按題中的方法'不斷地做下去,就會成為下圖那樣的圖形,它的邊界有一個美麗的名稱——雪花曲線或 科克曲線(瑞典數學家),這類圖形稱為“分形”,大量的物理、生物與數學現象都導致分形,分形是新興學科“混沌”的重要分支.

  17.如圖,設∠CGE=α,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( )

  A.360°一α B.270°一αC.180°+α D.2α

  (山東省競賽題)

  18.平面上有A、B,C、D四點,其中任何三點都不在一直線上,求證:在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個三角形的內角不超過45°.

  19.一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋,如果用較小的相同正方形地磚,那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地,已知n及地磚的邊長都是整數,求n. (上海市競賽題)

  20.如圖,凸八邊形ABCDEFGH的8 個內角都相等,邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長分別為7,4,2,5,6,2,求該八邊形的周長.

  21.如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖,這是展開后支撐起來放在地面上的情況,如果折疊起來,床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點都是活動的),活動床頭是根據三角形的穩定性和四邊形的不穩定性設計而成的,其折疊過程可由圖2的變換反映出來.

  如果已知四邊形ABCD中,AB=6,CD=15,那么BC、AD取多長時,才能實現上述的折疊變化?

  (淄博市中考題)

  22.一個凸n邊形由若干個邊長為1的正方形或正三角形無重疊、無間隙地拼成,求此凸n邊形各個內角的大小,并畫出這樣的 凸n邊形的草圖.

  圖形的平移與旋轉

  前蘇聯數學家亞格龍將幾何學定義為:幾何學是研究幾何圖形在運動中不變的那些性質的學科.

  幾何變換是指把一個幾何圖形Fl變換成另一個幾何圖形F2的方法,若僅改變圖形的位置,而不改變圖形的形狀和大小,這種變換稱為合同變換,平移、旋轉是常見的合同變換.

  如圖1,若把平面圖形Fl上的各點按一定方向移動一定距離得到圖形F2后,則由的變換叫平移變換.

  平移前后的圖形全等,對應線段平行且相等,對應角相等.

  如圖2,若把平面圖Fl繞一定點旋轉一個角度得到圖形F2,則由Fl到F2的變換叫旋轉變換,其中定點叫旋轉中心,定角叫旋轉角.

  旋轉前后的圖形全等,對應線段相等,對應角相等,對應點到旋轉中心的距離相等.

  通過平移或旋轉,把部分圖形搬到新的位置,使問題的條件相對集中,從而使條件與待求結論之間的關系明朗化,促使問題的解決.

  注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換.等積變換,只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換,只保留線段間的比例關系,而線段本身的大小要改變.

  例題求解

  【例1】如圖,P為正方形ABCD內一點,PA:PB:PC=1:2:3,則∠APD= .

  思路點撥 通過旋轉,把PA、PB、PC或關聯的線段集中到同一個三角形.

  【例2】 如圖,在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點M,N,使∠MCN=45°,記AM=m,MN= x,DN=n,則以線 段x、m、n為邊長的三角形的形狀是( )

  A.銳角三角形 B.直角三角形

  C.鈍角三角形 D.隨x、m、n的變化而改變

  思路點撥 把△ACN繞C點順時針旋轉45°,得△CBD,這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個與∠MCN相等的角,在一條直線上的m、 x、n 集中為△DNB,只需判定△DNB的形狀即可.

  注 下列情形,常實施旋轉變換:

  (1)圖形中出現等邊三角形或正方形,把旋轉角分別定為60°、90°;

  (2)圖形中有線段的中點,將圖形繞中點旋轉180°,構造中心對稱全等三角形;

  (3)圖形中出現有公共端點的線段,將含有相等線段的圖形繞公共端點,旋轉兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合.

  【例3】 如圖,六邊形ADCDEF中,AN∥DE,BC∥EF,CD∥AF,對邊之差BC-EF=ED?AB=AF?CD>0,求證:該六邊形的各角相等.

  (全俄數學奧林匹克競賽題)

  思路點撥 設法將復雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個基本圖形表示,題設中有平行條件,可考慮實施平移變換.

  注 平移變換常與平行線相關,往往要用到平行四邊形的性質,平移變換可將角,線段移到適當的位置,使分散的條件相對集中,促使問題的解決.

  【例4】 如圖,在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點E和F,使AE=CF.已知BC=2,求證:EF≥1. (西安市競賽題)

  思路點撥 本例實際上就是證明2EF≥BC,不便直接證明,通過平移把BC與EF集中到同一個三角形中.

  注 三角形中的不等關系,涉及到以下基本知識:

  (1)兩點間線段最短,垂線段最短;

  (2)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;

  (3)同一個三角形中大邊對大角(大角對大邊),三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.

  【例5】 如圖,等邊△ABC的邊長為 ,點P是△ABC內的一點,且PA2+PB2=PC2,若PC=5,求PA、PB的長. (“希望杯”邀請賽試題)

  思路點撥 題設條件滿足勾股關系PA2+PB2=PC2的三邊PA、PB、PC不構成三角形,不能直接應用,通過旋轉變換使其集中到一個三角形中,這是解本例的關 鍵.

  學歷訓練

  1.如圖,P是正方形ABCD內一點,現將△ABP繞點B顧時針方向旋轉能與△CBP′重合,若PB=3,則PP′= .

  2.如圖,P是等邊△ABC內一點,PA=6,PB=8,PC=10,則∠APB .

  3.如圖,四邊形ABC D中,AB∥CD,∠D=2∠B,若AD=a,AB=b,則CD的長為 .

  4.如圖,把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置,它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半,若AB= ,則此三角形移動的距離AA'是( )

  A. B. C.l D. (20xx年荊州市中考題)

  5.如圖,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角EPF的頂點P是BC中點,兩邊PE、PF分別交AB、AC于點C、F,給出以下四個結論:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;③S四邊形AEPF= S△ABC;④EF=AP.

  當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時(點E不與A、B重合),上述結論中始終正確的有( )

  A.1個 B.2個 C .3個 D.4個

  (20xx年江蘇省蘇州市中考題)

  6.如圖,在四邊形 ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于E, S四邊形ABCD d=8,則BE的長為( )

  A.2 B.3 C . D. (20xx年武漢市選拔賽試題)

  7.如圖,正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為 和 ,對角線BD、FH都在直線 上,O1、O2分別為正方形的中心,線段O1O2的長叫做兩個正方形的中心距,當中心O2在直線 上平移時,正方形EFGH也隨之平移,在平移時正方形EFGH的形狀、大小沒有變化.

  (1)計算:O1D= ,O2F= ;

  (2)當中心O2在直線 上平移到兩個正方形只有一個公共點時,中心距O1O2= ;

  (3)隨著中心O2在直線 上平移,兩個正方形的公共點的個數還有哪些變化?并求出相對應的中心距的值或取值范圍(不必寫出計算過程). (徐州市中考題)

  8.圖形的操做過程(本題中四個矩形的水平方向的邊長均為a,豎直 方向的邊長均為b):

  在圖a中,將線段A1A2向右平移1個單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2(即陰影部分);

  在圖b中, 將折線A1A2A3向右平移1個單位到B1B2B3,得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3(即陰影部分);

 。1)在圖c中,請你類似地畫一條有兩個折點的折線,同樣向右平移1個單位,從而得到一個封閉圖形,并用斜線畫出陰影;

 。2)請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積:S1= ,,S2= ,S3= ;

 。3)聯想與探索:

  如圖d,在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路(小路任何地方的水平寬度都是1個單位),請你猜想空白部分表示的草地面積是多少?并說明你的猜想是正確的.

  (20xx年河北省中考題)

  9.如圖,已知點C為線段AB上一點,△ACM、△CBN是等邊三角形,求證:AN=BM.

  說明及要求:本題是《幾何》第二冊幾15中第13題,現要求:

  (1)將△ACM繞C點按逆時針方向旋轉180°,使A點落在CB上,請對照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形(不寫作法,保留作圖痕跡).

  (2)在①所得的圖形中,結論“AN=BM”是否還成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

  (3)在①得到的圖形中,設MA的延長線與BN相交于D點,請你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀,并證明你的結論.

  10.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3cm,AC=4cm,以斜邊BC上距離B點3cm的點P為中心,把這個三角形按逆時針方向旋轉90°至△DEF,則旋轉前后兩個直角三角形重疊部分的面積是 cm2.

  11.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,點E在DC上,AE、BC的延長線交于點F,若AE=10,則S△ADE+S△CEF的值是 .

  (紹興市中考題)

  12.如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,P是△ABC內一點,則PA+PB+PC與AB+AC的大小關系是( )

  A.PA+PB+PC>AB+AC B.PA+PB+PCC. PA+PB+PC=AB+AC D.無法確定

  13.如圖,設P到等邊三角形ABC兩頂點A、B的距離分別為2、3,則PC所能達到的最大值為( )

  A. B. C .5 D.6

  (20xx年武漢市選拔賽試題)

  14.如圖,已知△ABC中,AB=AC,D為AB上一點,E為AC 延長線上一點,BD=CE,連DE,求證:DE>DC.

  15.如圖,P為等邊△ABC內一點,PA、PB、PC的長為正整數,且PA2+PB2=PC2,設PA=m,n為大于5的實數,滿 ,求△ABC的面積.

  16.如圖,五羊大學建立分校,校本部與分校隔著兩條平行的小河, ∥ 表示小河甲, ∥ 表示小河乙,A為校本部大門,B為分校大門,為方便人員來往,要在兩條小河上各建一座橋,橋面垂直于河岸.圖中的尺寸是:甲河寬8米,乙河寬10米,A到甲河垂直距離為40米,B到乙河垂直距離為20米,兩河距離100米,A、B兩點水平距離(與小河平行方向)120米,為使A、B兩點間來往路程最短,兩座橋都按這個目標而建,那么,此時A、D兩點間來往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題)

  17.如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,O是△ABC內一點,點O到△ABC各邊的距離都等于1,將△ABC繞 點O順時針旋轉45°,得△A1BlC1 ,兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ.

  (1)證明:△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形;

  (2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積. (山東省競賽題)

  18.(1)操作與證明:如圖1,O是邊長為a的正方形ACBD的中心,將一塊半徑足夠長,圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點處,并將紙板繞O點旋轉,求證:正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值.

  (2)嘗試與思考:如圖2,將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或正五邊形的中心O點處,并將紙板繞O點旋轉, 當扇形紙板的圓心角為 時,正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a;當扇形紙板的圓心角為 時,正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a.

  (3)探究與引申:一般地,將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點處,并將紙板繞O點旋轉.當扇形紙板的圓心角為 時,正n邊形的邊被紙板覆蓋部分 的總長度為定值a;這時正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值,寫出它與正n邊形面積S之間的關系;若不是定值,請說明理由.

平行四邊形教案 篇6

  【學習目標】

  1、平行四邊形性質(對角線互相平分)

  2、平行線之間的距離定義及性質

  【新課探究】

  活動一:

  如圖,□ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點O.

  (1)圖中有哪些三角形是全等的?有哪些線段是相等的?

  (2)想辦法驗證你的猜想?

  (3)平行四邊形的性質:平行四邊形的對角線

  幾何語言:∵四邊形ABCD是平行四邊形(已知)

  ∴AO==AC,BO==BD()

  活動二:如圖,直線∥,過直線上任意兩點A,B分別向直線做垂線,交直線與點C,點D.

  (1)線段AC,BD有怎樣的位置關系?

  (2)比較線段AC,BD的長短.

  (3)若兩條直線互相平行,,則其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離,這個距離稱為平行線之間的距離。平行線之間的垂線段處處.

  【知識應用】

  1.已知□ABCD的兩條對角線相交于點O,OA=5,OB=6,則AC=,BD=

  2.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,DB⊥AD,求BC,CD及OB,OA的長.

  3.已知□ABCD中,AB=12,BC=6,對邊AD和BC的距離是4,則對邊AB和CD間的`距離是

  【當堂反饋(小測)】:

  1、平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于O,OA,OB,AB的長度分別為3cm、4cm、5cm,求其它各邊以及兩條對角線的長度。

  2、如圖,在□ABCD中,,已知∠ODA=90°,OA=6cm,OB=3cm,求AD、AC的長

  3、如圖,在□ABCD中,已知AB、BC、CD三條邊的長度分別為(x+3)cm,(x-4)cm,16cm,這個平行四邊形的周長是多少?

  【鞏固提升】

  1.平行四邊形的兩條對角線

  2、已知□ABCD的兩條對角線相交于點O,OA=5,OB=6,則AC=,BD=

  3、已知□ABCD中,AB=8,BC=6,對邊AD和BC的距離是2,則對邊AB和CD間的距離是

  4、下列性質中,平行四邊形不一定具備的是()

  A、對角互補B、鄰角互補C、對角相等D、內角和是360°

  5、下列說法中,不正確的是()

  A、平行四邊形的對角線相等B、平行四邊形的對邊相等

  C、平行四邊形的對角線互相平分D、平行四邊形的對角相等

  6、如圖,在□ABCD中,,已知∠BAC=90°,OB=8cm,OA=4cm,求AB、BC的長

  7、如圖,已知□ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,△AOD的周長是80cm,已知AD的長是35cm,求AC+BD的長。

  8、如圖,平行四邊形ABCD中,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E、F。

  (1)寫出圖中每一對你認為全等的三角形;

  (2)選擇(1)中的任意一對進行證明。

  9.對角線可以將平行四邊形分成全等的兩部分,這樣的直線還有很多。

  (1)多做幾條這樣的直線,看看它們有什么共同的特征

  (2)試著用旋轉的有關知識解釋你的發現。

平行四邊形教案 篇7

  教學目標:

  1.使學生在理解的基礎上掌握平行四邊形面積的計算公式,并會運用公式正確地計算平行四邊形的面積.

  2.通過操作、觀察、比較,發展學生的空間觀念,培養學生運用轉化的思考方法解決問題的能力和邏輯思維能力.

  3.對學生進行辯詐唯物主義觀點的啟蒙教育.

  教學重點:理解公式并正確計算平行四邊形的面積.

  教學難點:理解平行四邊形面積公式的推導過程.

  學具準備:每個學生準備一個平行四邊形。

  教學過程:

  一、導入新課

  1、什么是面積?

  2、請同學翻書到80頁,請觀察這兩個花壇,哪一個大呢?假如這塊長方形花壇的長是3米,寬是2米,怎樣計算它的面積呢?根據長方形的面積=長寬(板書),得出長方形花壇的面積是6平方米,平行四邊形面積我們還沒有學過,所以不能計算出平行四邊形花壇的面積,這節課我們就學習平行四邊形面積計算。

  二、民主導學

 。ㄒ唬、數方格法

  用展示臺出示方格圖

  1、這是什么圖形?(長方形)如果每個小方格代表1平方厘米,這個長方形的面積是多少?(18平方厘米)

  2、這是什么圖形?(平行四邊形)每一個方格表示1平方厘米,自己數一數是多少平方厘米?

  請同學認真觀察一下,平行四邊形在方格紙上出現了不滿一格的,怎么數呢?可以都按半格計算。然后指名說出數得的結果,并說一說是怎樣數的。

  2、請同學看方格圖填80頁最下方的表,填完后請學生回答發現了什么?

  小結:如果長方形的長和寬分別等于平行四邊形的底和高,則它們的面積相等。

 。ǘ┮敫钛a法

  以后我們遇到平行四邊形的地、平行四邊形的零件等等平行四邊形的東西,都像這樣數方格的方法來計算平行四邊形的面積方不方便?那么我們就要找到一種方便、又有規律的計算平行四邊形面積的方法。

 。ㄈ└钛a法

  1、這是一個平行四邊形,請同學們把自己準備的平行四邊形沿著所作的高剪下來,自己拼一下,看可以拼成我們以前學過的什么圖形?

  2、然后指名到前邊演示。

  3、教師示范平行四邊形轉化成長方形的過程。

  剛才發現同學們把平行四邊形轉化成長方形時,就把從平行四邊形左邊剪下的直角三角形直接放在剩下的梯形的右邊,拼成長方形。在變換圖形的位置時,怎樣按照一定的規律做呢?現在看老師在黑板上演示。

 、傧妊刂叫兴倪呅蔚母呒粝伦筮叺闹苯侨切。

 、谧笫职醋∈O碌奶菪蔚挠也,右手拿著剪下的直角三角形沿著底邊慢慢向右移動。

 、垡苿右欢魏,左手改按梯形的左部。右手再拿著直角三角形繼續沿著底邊慢慢向右移動,到兩個斜邊重合為止。

  請同學們把自己剪下來的直角三角形放回原處,再沿著平行四邊形的底邊向右慢慢移動,直到兩個斜邊重合。(教師巡視指導。)

  4、觀察(黑板上在剪拼成的長方形左面放一個原來的平行四邊形,便于比較。)

  您現在正在閱讀的五年級上冊《平行四邊形的面積》教學設計文章內容由收集!本站將為您提供更多的精品教學資源!五年級上冊《平行四邊形的面積》教學設計①這個由平行四邊形轉化成的長方形的面積與原來的.平行四邊形的面積比較,有沒有變化?為什么?

 、谶@個長方形的長與平行四邊形的底有什么樣的關系?

 、圻@個長方形的寬與平行四邊形的高有什么樣的關系?

  教師歸納整理:任意一個平行四邊形都可以轉化成一個長方形,它的面積和原來的平行四邊形的面積相等,它的長、寬分別和原來的平行四邊形的底、高相等。

  5、引導學生總結平行四邊形面積計算公式。

  這個長方形的面積怎么求?(指名回答后,在長方形右面板書:長方形的面積=長寬)

  那么,平行四邊形的面積怎么求?(指名回答后,在平行四邊形右面板書:平行四邊形的面積=底高。)

  6、教學用字母表示平行四邊形的面積公式。

  板書:S=ah

  說明在含有字母的式子里,字母和字母中間的乘號可以記作,寫成ah,也可以省略不寫,所以平行四邊形面積的計算公式可以寫成S=ah,或者S=ah。

 。6)完成第81頁中間的填空。

  7、驗證公式

  學生利用所學的公式計算出方格圖中平行四邊形的面積和用數方格的方法求出的面積相比較相等 ,加以驗證。

  條件強化:求平行四邊形的面積必須知道哪兩個條件?(底和高)

  三、檢測導結

  1、學生自學例1后,教師根據學生提出的問題講解。

  2、判斷,并說明理由。

  (1)兩個平行四邊形的高相等,它們的面積就相等()

  (2)平行四邊形底越長,它的面積就越大()

  3、做書上82頁2題。

  4、小結

  今天,你學會了什么?怎樣求平行四邊形的面積?平行四邊形的面積計算公式是怎樣推導的?

  5、作業

  練習十五第1題。

  附:板書設計

  平行四邊形面積的計算

  長方形的面積=長寬 平行四邊形的面積=底高

  S=ah S=ah或S=ah

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